‘Gruplar’ Trendy Matematiğin Destekçisidir. İşte Nasıl Çalışıyorlar?

Bir grubun hangi alt grupları içerdiğini anlamak, onun yapısını anlamanın bir yoludur. Örneğin, alt gruplar Z₆ {0}, {0, 2, 4} ve {0, 3}—önemsiz alt grup, 2’nin katları ve 3’ün katları. Grupta D₆döndürmeler bir alt grup oluşturur, ancak yansımalar oluşturmaz. Bunun nedeni, sırayla gerçekleştirilen iki yansımanın, yansıma değil, bir döndürme oluşturmasıdır; tıpkı iki tek sayının eklenmesinin çift sayıyla sonuçlanması gibi.

“Regular” alt gruplar olarak adlandırılan belirli alt grup türleri özellikle matematikçiler için faydalıdır. Değişmeli bir grupta tüm alt gruplar normaldir, ancak bu daha genel olarak her zaman doğru değildir. Bu alt gruplar, tüm grubu değişmeli olmaya zorlamadan, değişmenin en kullanışlı özelliklerinden bazılarını korur. Regular alt grupların bir listesi tanımlanabilirse, tamsayıların asal sayıların çarpımına bölündüğü gibi gruplar da bileşenlere bölünebilir. Regular alt grupları olmayan gruplara basit gruplar denir ve asal sayıların çarpanlarına ayrılamaması gibi daha fazla parçalanamazlar. Grup Z_N yalnızca ne zaman basittir N asaldır; örneğin 2 ve 3’ün katları regular alt gruplar oluşturur. Z₆.

Ancak basit gruplar her zaman bu kadar basit değildir. Hart, “Bu matematikteki en büyük yanlış isimdir” dedi. 1892’de matematikçi Otto Hölder araştırmacıların bir araya gelmesini önerdi tüm olası sonlu basit grupların tam listesi. (Tam sayılar gibi sonsuz gruplar kendi çalışma alanlarını oluşturur.)

Neredeyse tüm sonlu basit grupların ya birbirine benzediği ortaya çıktı Z_N (asal değerler için N) veya diğer iki aileden birine girersiniz. Ve sporadik gruplar adı verilen 26 istisna vardır. Bunları saptamak ve başka hiçbir olasılığın olmadığını göstermek bir yüzyıldan fazla zaman aldı.

Uygun bir şekilde canavar grubu olarak adlandırılan en büyük ara sıra grup 1973’te keşfedildi. 8 × 10’dan fazla⁵⁴ yaklaşık 200.000 boyutlu bir uzaydaki geometrik dönmeleri temsil eder. Hart, “Bu şeyin insanlar tarafından bulunabilmesi gerçekten çılgınca” dedi.

1980’lere gelindiğinde, Hölder’in talep ettiği işin büyük bir kısmı tamamlanmış gibi görünüyordu, ancak orada artık dağınık grupların kalmadığını göstermek zordu. 1989’da topluluk, 1980’lerin başından kalma 800 sayfalık bir kanıtta boşluklar bulduğunda sınıflandırma daha da gecikti. Yeni bir kanıt nihayet yayınlandı 2004 yılında sınıflandırmayı tamamladık.

Trendy matematikteki pek çok yapı (örneğin halkalar, alanlar ve vektör uzayları) gruplara daha fazla yapı eklendiğinde oluşturulur. Halkalarda çarpmanın yanı sıra toplama ve çıkarma da yapabilirsiniz; alanlarda da bölebilirsiniz. Ancak tüm bu daha karmaşık yapıların altında, dört aksiyomuyla birlikte aynı orijinal grup fikri yatıyor. Hart, “Bu dört kuralla bu yapı içinde mümkün olan zenginlik akıllara durgunluk verici” dedi.

Orijinal hikaye izniyle yeniden basılmıştır Quanta Dergisieditoryal olarak bağımsız bir yayın olan Simons Vakfı Misyonu matematik, fizik ve yaşam bilimlerindeki araştırma gelişmelerini ve eğilimlerini kapsayarak halkın bilim anlayışını geliştirmektir.